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（文|辛西 编辑|信息 审核|童言）11月19日下午，家庭教师av “Happy Hour”学术分享会迎来又一场高水准学术盛宴。本次活动中，挪威卑尔根大学李春雷教授以《超Bent函数的刻画、构造及其在密码学中的应用》为题，深入讲解了布尔函数中一类具有极致非线性性质的特殊函数——Bent函数与超Bent函数的理论进展与实际意义，引发现场师生热烈反响。

李春雷教授长期致力于密码学中布尔函数的代数结构研究，此次报告围绕“超Bent函数”的数学刻画与构造难题展开，系统梳理了该类函数的研究脉络，展示了其团队在构造简洁高效超Bent函数形式方面的最新突破。

报告伊始，李教授从布尔函数的基本表示入手，回顾了真值表、多变元表示和代数正规型3种常见表达方式，并指出其在对称密码设计中的核心地位。“无论是DES还是AES，S盒的设计本质上都依赖于具有良好密码学性质的布尔函数。”李春雷强调，非线性度是衡量一个布尔函数抗线性攻击能力的关键指标，而Bent函数正是能够达到理论最大非线性度的理想对象。

在此基础上，李春雷教授详细介绍了Bent函数的多种等价刻画方法，包括通过沃尔什变换、差分特性以及组合设计（如差集与哈达玛矩阵）进行描述。“这些不同的视角不仅丰富了我们对Bent函数的理解，更重要的是，它们将密码学问题与其他数学领域紧密联系起来。”随后，报告进入核心议题——超Bent函数的研究进展。这类函数作为Bent函数的强化版本，具备更加优越的周期性和谱特性，在流密码、分组密码乃至CDMA通信系统中展现出广阔应用前景。然而，由于其结构性质极为复杂，目前关于超Bent函数的显式构造仍面临巨大挑战。

“是否存在不属于传统形式的超Bent函数？”李春雷抛出这一当前领域内的公开问题，“如果能找到反例，或将彻底改变我们对该类函数结构的认知；反之，若能证明所有超Bent函数均属于此类形式，则将是理论上的重大推进。”

围绕这一开放性问题，李春雷教授介绍了其研究团队近年来的工作路径：基于已有刻画结果，尝试建立具体的代数表示，尤其是三项式、五项式乃至八项式的构造模式。他们提出了一种相对简洁的超Bent函数构造框架，并针对参数a、b、d的不同组合给出了十余类可能的形式分类。其中一项重要发现是：当选取特定小指数采样参数d时，若对应变换取零的所有a值均可生成超Bent函数，则可有效构造出满足条件的超Bent函数。

此外，李春雷还回顾了置换多项式、完全置换及其代数表示的相关研究。在与师生交流时他提到，具备良好非线性度与平衡性的完全置换被认为是未来高性能S盒设计的理想候选。

活动负责人介绍，整场报告逻辑严密、层层递进，既有深刻的理论分析，也不乏对实际应用场景的展望。据悉，相关研究成果已发表于多个国际密码学与信息安全顶级会议与期刊。随着后量子密码时代的临近，具备强抗攻击能力的非线性组件将成为保障信息安全的核心要素，而以超Bent函数为代表的高阶布尔函数研究，正日益成为连接数学理论与密码实践的关键纽带。

【主讲人介绍】

李春雷，挪威卑尔根大学信息学系副教授，2014年获该校博士学位，2018年起任教。主要研究方向为序列设计、编码理论与密码学，在布尔函数构造、差分均匀性、低相关序列设计等方面取得国际影响力成果。现任IEEE信息理论学会挪威分会董事会成员，担任《Advances in Mathematics of Communications》《Designs, Codes and Cryptography》等期刊编委，多次担任国际重要会议程序委员或联合主席。